Die dritte binomische Formel (a + b)(a − b) = a² − b² ist ein mathematisches Werkzeug, das komplizierte Klammerausdrücke in Sekundenschnelle auflöst. Mittlere Terme heben sich gegenseitig auf, sodass am Ende nur die Differenz der Quadrate übrig bleibt. Dieser Artikel zeigt dir Schritt für Schritt, wie du sie herleitst, anwendest und warum sie gerade für Kopfrechnungen so praktisch ist.

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Dritte binomische Formel: (a + b)(a − b) = a² − b² ·
Erste binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b² ·
Zweite binomische Formel: (a − b)² = a² − 2ab + b² ·
Typische Anwendung: Differenz der Quadrate ·
Häufige Fehlerquelle: Verwechslung mit Quadraten

Kurzüberblick

1Bestätigte Fakten
  • Die Formel lautet (a + b) · (a − b) = a² − b² (Studienkreis)
  • Mittlere Terme neutralisieren sich gegenseitig (mein-lernen.at)
2Was unklar ist
  • Historischer Ursprung der binomischen Formeln nicht dokumentiert
  • Keine regionalen Unterschiede im Unterrichtsansatz verfügbar
3Zeitleisten-Signal
4Wie es weitergeht
  • Anwendung beim Klammern auflösen und Faktorisieren (Serlo)

Die folgende Tabelle fasst die wesentlichen Attribute der dritten binomischen Formel übersichtlich zusammen.

Attribut Wert
Standardnotation (a + b)(a − b)
Ergebnis a² − b²
Voraussetzung a und b Variablen oder Zahlen
Alternative Namen Differenz der Quadrate
Herleitungsmethoden Algebraisch und geometrisch
Anwendungszwecke Klammern auflösen, Faktorisieren

Wie berechnet man die 3. binomische Formel?

Die Berechnung der dritten binomischen Formel folgt einem klaren Muster: Zwei Klammern werden miteinander multipliziert, wobei dieselben Variablen in beiden Klammern vorkommen – nur mit unterschiedlichem Vorzeichen. Das Besondere: Die mittleren Terme heben sich gegenseitig auf (mein-lernen.at), sodass am Ende nur die Differenz der Quadrate übrig bleibt.

Herleitung der Formel

Die algebraische Herleitung zeigt den Weg Schritt für Schritt. Ausgehend von (a + b) · (a − b) wird jede Variable der ersten Klammer mit jeder Variable der zweiten Klammer multipliziert (Studienkreis):

Rechenweg

(a + b) · (a − b) = a·a + a·(−b) + b·a + b·(−b) = a² − ab + ab − b² = a² − b²

Die Herleitung ergibt: Die Terme −ab und +ab kürzen sich gegenseitig weg. Was übrig bleibt, ist denkbar einfach: a² − b². Diese Eleganz macht die Formel so nützlich für schnelle Berechnungen (kapiert.de).

Schritt-für-Schritt-Berechnung

  1. Schritt 1: Erkenne die Struktur (a + b)(a − b)
  2. Schritt 2: Quadriere den ersten Summanden → a²
  3. Schritt 3: Quadriere den zweiten Summanden → b²
  4. Schritt 4: Subtrahiere das zweite Quadrat vom ersten → a² − b²

Das Muster funktioniert immer: Bei der dritten binomischen Formel wird das Quadrat des zweiten Summanden vom Quadrat des ersten Summanden abgezogen (kapiert.de).

Wie lauten alle binomischen Formeln?

Die drei binomischen Formeln bilden das Fundament der Schulalgebra. Sie lauten: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; (a + b)(a − b) = a² − b² (Mathegym). In der Richtung von links mit Klammer zu rechts ohne Klammer dienen die binomischen Formeln dazu, Klammern schneller auszumultiplizieren.

Erste Formel (a + b)²

Die erste binomische Formel beschreibt das Quadrat einer Summe. Sie wird als Quadratsumme bezeichnet und ergibt: a² + 2ab + b². Der mittlere Term 2ab entsteht, weil sowohl a·b als auch b·a addiert werden.

Zweite Formel (a − b)²

Die zweite binomische Formel beschreibt das Quadrat einer Differenz. Sie wird als Quadratdifferenz bezeichnet und ergibt: a² − 2ab + b². Hier subtrahiert sich der gemischte Term.

Dritte Formel (a + b)(a − b)

Die dritte binomische Formel ist ein Sonderfall: Sie kombiniert eine Summe und eine Differenz mit denselben Variablen. Das Ergebnis ist die Differenz der Quadrate a² − b². Ohne Kenntnis der binomischen Formeln müsste man die Klammern auf herkömmliche Art durch „jeder mit jedem” ausmultiplizieren (Mathegym).

Welche drei binomischen Formeln gibt es?

Es gibt genau drei Standard-Binomformeln in der Algebra, die in der Schulmathematik verwendet werden (Mathegym). Sie werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet (Serlo).

Übersicht der drei Formeln

Die folgende Übersicht zeigt alle drei Formeln mit ihren jeweiligen Namen und Ergebnissen.

Formel Name Ergebnis
(a + b)² Erste binomische Formel a² + 2ab + b²
(a − b)² Zweite binomische Formel a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) Dritte binomische Formel a² − b²

Das Muster zeigt: Nur die dritte binomische Formel hat keinen gemischten Term in der Mitte – die Terme +ab und −ab heben sich gegenseitig auf.

Anwendungsbeispiele

Die dritte binomische Formel kann genutzt werden, um Produkte zu vereinfachen und ohne Taschenrechner auszurechnen. Ein klassisches Beispiel: 105 · 95 = (100 + 5) · (100 − 5) = 100² − 5² = 10000 − 25 = 9975 (Studienkreis). Solche Kopfrechen-Tricks machen die Formel im Alltag nützlich.

Wie löse ich die 3. binomische Formel?

Die Lösung der dritten binomischen Formel folgt einem einfachen Schema: Identifiziere die Struktur, quadriere den ersten Term, quadriere den zweiten Term, subtrahiere. Bei der 3. binomischen Formel heben sich die mittleren Terme immer auf, daher kann man sich den ganzen Prozess sparen, wenn man die Formel kennt (Serlo).

Beispiele mit Zahlen

Praktische Beispiele

(a + 3) · (a − 3) = a² − 9 · (x + 0,5) · (x − 0,5) = x² − 0,25 · (2x + 3y) · (2x − 3y) = 4x² − 9y²

Jedes dieser Beispiele zeigt das gleiche Muster: Die Struktur bleibt erhalten, nur die Variablen und Zahlen ändern sich. Die Probe ohne binomische Formel bestätigt das Ergebnis: (5 + 3) · (5 − 3) = 8 · 2 = 16 (kapiert.de).

Aufgaben mit Lösungen

  • (x + 4) · (x − 4) = x² − 16 (StudyFlix)
  • (a + 6) · (a − 6) = a² − 36 (StudyFlix)
  • (5m + 3) · (5m − 3) = 25m² − 9 (StudyFlix)
  • (2,5y + 7) · (2,5y − 7) = 6,25y² − 49 (StudyFlix)

Was dies bedeutet: Jede Aufgabe folgt demselben Muster – quadriere den ersten Term, quadriere den zweiten Term, subtrahiere. Die Ergebnisse lassen sich schnell im Kopf überprüfen.

Ist 2x + 3x ein Binom?

Diese Frage klärt eine häufige Verwechslung: 2x + 3x ist kein Binom, sondern nach der Zusammenfassung ein Monom. Der Unterschied liegt in der Definition: Ein Binom besteht aus zwei Termen, die durch Addition oder Subtraktion verbunden sind.

Definition Binom vs. Monom

Ein Monom enthält nur einen einzigen Term, während ein Binom genau zwei Terme besitzt. Die Ausdrücke 2x + 3x vereinfachen sich zu 5x – das ist ein Monom. Hingegen ist x² − 9 ein Binom, weil es zwei verschiedene Terme enthält: x² und 9.

Beispiele für Binome

  • x + 5 (Binom)
  • a² − b² (Binom, dritte binomische Formel)
  • 3m + 7n (Binom mit zwei Variablen)
  • 16m² − 25 (Binom, faktorisierbar zu (4m + 5)(4m − 5))

Die Faktorisierung funktioniert auch rückwärts: 16m² − 25 = (4m + 5)(4m − 5) und 36a² − 81 = (6a + 9)(6a − 9) (StudyFlix). Diese Umkehraufgaben sind besonders nützlich beim Lösen von Gleichungen.

Praktische Übungen zum Vertiefen

Theorie ist gut, Übung ist besser. Die folgenden Aufgaben decken verschiedene Schwierigkeitsstufen ab und helfen dir, die dritte binomische Formel sicher anzuwenden.

Einfache Aufgaben

  • (x + 2)(x − 2) = ?
  • (7 + y)(7 − y) = ?
  • (3a + 4)(3a − 4) = ?

Fortgeschrittene Aufgaben

  • (x² + 5)(x² − 5) = ?
  • (2m + 9n)(2m − 9n) = ?
  • Faktorisiere: 49 − 16k²
  • Faktorisiere: 121a² − 144b²

The pattern zeigt sich in jeder Aufgabe: Sobald du die Struktur (a + b)(a − b) erkennst, liefert die Formel sofort das Ergebnis ohne manuelles Ausmultiplizieren.

Anwendung im Alltag

Die dritte binomische Formel eignet sich hervorragend für schnelle Kopfrechnungen. Statt 105 · 95 schriftlich zu multiplizieren, erkennst du: 105 · 95 = (100 + 5)(100 − 5) = 10000 − 25 = 9975. Das Ergebnis stimmt – und du hast in Sekundenschnelle gerechnet (Studienkreis).

Fazit: Die dritte binomische Formel ist ein elegantes Werkzeug, das komplizierte Klammermultiplikationen auf die Differenz zweier Quadrate reduziert. Für Schüler bedeutet das: schneller rechnen bei Hausaufgaben und Klassenarbeiten. Für alle, die Kopfrechnen üben wollen: ein praktischer Trick für Zahlen nahe bei 100.

Verwandte Beiträge: 3. binomische Formel Herleitung · 3. binomische Formel anwenden

Weitere Quellen

mathegym.de, youtube.com

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein Binom?

Ein Binom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus genau zwei durch Plus oder Minus verbundenen Termen besteht. Beispiele sind x + 5, a² − b² oder 3m + 7n.

Wie unterscheidet sich die 3. binomische Formel von den anderen?

Die dritte binomische Formel ist ein Sonderfall, weil sie keine gemischten Terme (wie 2ab) erzeugt. Bei (a + b)(a − b) heben sich +ab und −ab gegenseitig auf. Die erste und zweite Formel haben dagegen immer einen mittleren Term.

Kann die 3. binomische Formel für Wurzeln verwendet werden?

Ja, die Formel kann rückwärts angewendet werden, um Wurzeln zu berechnen. Zum Beispiel lässt sich √99 als √(100 − 1) = √100 · √1 = 10 · 1 = 10 interpretieren – eine Näherung, die mit der Formel a² − b² zusammenhängt.

Gibt es einen Rechner für binomische Formeln?

Ja, verschiedene Online-Tools bieten Rechner für binomische Formeln an. Diese können sowohl das Ausmultiplizieren als auch das Faktorisieren durchführen und sind nützlich, um Ergebnisse zu überprüfen.

Welche Aufgaben eignen sich zum Üben?

Am besten übst du mit Aufgaben wie (x + 4)(x − 4), (2a + 5)(2a − 5) und Faktorisierungsaufgaben wie 36a² − 81. StudyFlix bietet strukturierte Übungsaufgaben mit Lösungen an.

Warum ist die 3. binomische Formel nützlich?

Sie spart Zeit beim Rechnen, macht komplizierte Klammerausdrücke einfach und ist ein unverzichtbares Werkzeug für höhere Mathematik wie quadratische Gleichungen und Funktionen.

Funktioniert die Formel nur mit Zahlen?

Nein, die Formel funktioniert mit Variablen, Zahlen oder einer Kombination aus beiden. Solange die Struktur (a + b)(a − b) erkennbar ist, lässt sich die Formel anwenden.